Question

4．設數列{a_n}的前n項和S_n，數列{S_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=3S_n-2n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：S_n≥1，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）運用數列的遞推式：n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，以及構造等比數列，由等比數列的通項公式可得，注意n=1的情況是否成立；
（2）由（1）可得數列{S_n}在n∈N^*遞增，即可得證．

解答 解：（1）T_n=3S_n-2n，n∈N^*．①
當n=1時，T₁=S₁=3S₁-2，
可得S₁=1，
n=2時，S₁+S₂=3S₂-4，
解得S₂=$\frac{5}{2}$，
當n≥2時，T_n-1=3S_n-1-2（n-1），②
①-②可得S_n=3S_n-3S_n-1-2，
即為S_n=$\frac{3}{2}$S_n-1+1，
即有S_n+2=$\frac{3}{2}$（S_n-1+2），
則S_n+2=（S₂+2）•（$\frac{3}{2}$）^n-2，
可得S_n=$\frac{9}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2-2=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，對n=1也成立，
則S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2-3•（$\frac{3}{2}$）^n-2+2
=（$\frac{3}{2}$）^n-1，對n=1也成立，
則數列{a_n}的通項公式為a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，n∈N^*．
（2）證明：由（1）得S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
由于$\frac{3}{2}$＞1，可得數列{S_n}遞增，
即有S_n≥S₁=1，
則S_n≥1，n∈N^*．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意數列遞推式：n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，以及等比數列的定義和通項公式，考查數列不等式的證明，注意運用單調性，考查運算能力，屬于中檔題．