Question

4．已知橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，長軸長為4，焦點在x軸上，斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程
（2）求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，長軸長為4，焦點在x軸上，列出方程組，求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設斜率為1的直線l的方程為y=x+b，聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得5x²+8bx+4b²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，能求出|AB|的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，長軸長為4，焦點在x軸上，
∴設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設斜率為1的直線l的方程為y=x+b，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，得5x²+8bx+4b²-4=0，
△=64b²-80b²+80=80-16b²＞0，解得-$\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8b}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-4}{5}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[（-\frac{8b}{5}）^{2}-4×\frac{4{b}^{2}-4}{5}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{b}^{2}}$，
∴當b=0時，|AB|取最大值$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、橢圓性質的合理運用．