Question

12．若對任意x∈[2，4]及y∈[2，3]，該不等式xy≤ax²+2y²恒成立，則實數a的范圍是a≥0．

Answer 1

分析 若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，則a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，令t=$\frac{y}{x}$，結合二次函數的圖象和性質，求得函數的最值，可得答案．

解答 解：若不等式xy≤ax²+2y²恒成立，
則a≥-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$恒成立，
令t=$\frac{y}{x}$，x∈[2，4]，y∈[2，3]，則t∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
則u=-2（$\frac{y}{x}$）²+$\frac{y}{x}$=-2t²+t在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上為減函數，
當t=$\frac{1}{2}$時，u取最大值0，
故a≥0，
故答案為：a≥0

點評 本題考查的知識點是恒成立問題，二次函數的圖象和性質，函數的最值及其幾何意義，難度中檔．