Question

16．已知函數f（x）=|x-$\frac{1}{a}$|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）
（Ⅰ）當a=-1時，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）證明：f（x）≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=-1時，通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質以及基本不等式的性質證明即可．

解答 （Ⅰ）解：a=-1時，f（x）=|x+1|+|x-2|≥5，
x≥2時，x+1+x-2≥5，解得：x≥3，
-1＜x＜2時，x+1+2-x≥5，無解，
x≤-1時，-x-1-x+2≥5，解得：x≤-2，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤-2}．
（Ⅱ）證明：f（x）=|x-$\frac{1}{a}$|+|x+2a|≥|x+2a+$\frac{1}{a}$-x|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
當且僅當|2a|=|$\frac{1}{a}$|，即a=$±\sqrt{2}$時”=“成立．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質，是一道中檔題．