Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，則S_n=$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，$\frac{1}{{S}_{1}}$=2．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
則$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，解得S_n=$\frac{1}{2n}$．
故答案為：$\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．