Question

15．如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于點C、D的點，AE=3，圓O的直徑為9．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求DE的長．

Answer 1

分析 （1）只需證明AE⊥CD．CD⊥AD，即可得CD⊥平面ADE．平面ABCD⊥平面ADE．
（2）可知CE為圓O的直徑，即CE=9，設正方形ABCD的邊長為a，在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，解得a=3$\sqrt{5}$．DE=6．

解答 解：（1）∵AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面內，∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，∴CD⊥DE．
∴CE為圓O的直徑，即CE=9．
設正方形ABCD的邊長為a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得a=3$\sqrt{5}$．
∴DE=6．

點評 本題考查了空間面面位置關系的判定，考查了轉化思想，計算能力，屬于中檔題．