Question

20．設a＞0，b＞0，若3^a與3^b的等比中項是$\sqrt{3}$，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由條件可得 3^a•3^b =3，故a+b=1，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{3}$是3^a與3^b的等比中項，
∴3^a•3^b =3，故a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{4a+4b}{b}$
=1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$
≥5+2 $\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
當且僅當$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$時，等號成立，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為 9，
故答案為：9．

點評 本題主要考查等比數列的定義和性質，基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于中檔題．