Question

16．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE
（Ⅰ）求證：AE⊥BE
（Ⅱ）設M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，由BF⊥平面ACE，得AE⊥BF，從而AE⊥平面BCE，由此能證明AE⊥BE．
（Ⅱ）在三角形ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，在三角形BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，由比例關系得CN=$\frac{1}{3}$CE，推導出平面MGN∥平面ADE，由此能求出N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）
解：（Ⅱ）在三角形ABE中過M點作MG∥AE交BE于G點，
在三角形BEC中過G點作GN∥BC交EC于N點，連MN，
則由比例關系得CN=$\frac{1}{3}$CE，
∵MG∥AE  MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE，
同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，
又MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∴N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．