Question

4．已知F為拋物線y²=4x的焦點，點A，B在拋物線上且位于x軸的兩側，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12（O為坐標原點），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先設直線方程和點的坐標，聯立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題

解答 解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點為M（m，0），
x=ty+m代入y²=4x，可得y²-4ty-4m=0，根據韋達定理有y₁•y₂=-4m，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，∴x₁•x₂+y₁•y₂=12，從而（y₁•y₂）²+16y₁•y₂-12×16=0，
∵點A，B位于x軸的兩側，
∴y₁•y₂=-24，故m=6．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，又F（1，0），
∴S_△BFO+S_△AFO=$\frac{1}{2}×1×（{y}_{1}-{y}_{2}）$=$\frac{1}{2}（{y}_{1}+\frac{24}{{y}_{1}}）$$≥2\sqrt{6}$．
當且僅當y₁=$\frac{24}{{y}_{1}}$，即y₁=2$\sqrt{6}$時，取“=”號，
∴△BFO與△AFO面積之和的最小值是2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$

點評 本題考查了拋物線與直線的位置關系，平面向量的數量積運算，基本不等式的應用，屬于中檔題．