Question

9．如圖，已知a∈[2，4]，直線l₁：a²x+y-4a²-2=0，l₂：x+ay-4-2a=0，l₁交y軸的正半軸于A，l₂交x軸的正半軸于B，l₁、l₂相交于點C，試求四邊形OACB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析 直線l₁：a²x+y-4a²-2=0，即直線l₁：a²（x-4）+（y-2）=0，經過定點（4，2）．l₂：x+ay-4-2a=0，即l₂：x-4+a（y-2）=0，經過定點（4，2）．可得l₁、l₂相交于點C（4，2），l₁交y軸的正半軸于A（0，4a²+2），l₂交x軸的正半軸于B（4+2a，0），a∈[2，4]，利用四邊形OACB面積S=S_△OAC+S_△OBC=$\frac{1}{2}|OA|$•x_C+$\frac{1}{2}|OB|•{y}_{C}$及其二次函數的單調性即可得出．

解答 解：直線l₁：a²x+y-4a²-2=0，即直線l₁：a²（x-4）+（y-2）=0，經過定點（4，2）．
l₂：x+ay-4-2a=0，即l₂：x-4+a（y-2）=0，經過定點（4，2）．
∴l₁、l₂相交于點C（4，2），
l₁交y軸的正半軸于A（0，4a²+2），l₂交x軸的正半軸于B（4+2a，0），a∈[2，4]，
∴四邊形OACB面積S=S_△OAC+S_△OBC
=$\frac{1}{2}|OA|$•x_C+$\frac{1}{2}|OB|•{y}_{C}$
=$\frac{1}{2}$×（4a²+2）×4+$\frac{1}{2}×（4+2a）$×2=8a²+2a+8=8$（a+\frac{1}{8}）^{2}$+$\frac{63}{8}$．
∴S在a∈[2，4]單調遞增，
a=2時，S=44．a=4時，S=144．
∴S∈[44，144]，
其最大值和最小值分別為144，44．

點評 本題考查了直線系的應用、三角形面積計算公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．