Question

14．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，
在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．
（Ⅰ）求證：AP∥平面BDM；
（Ⅱ）若G為DM中點，求證：$\frac{GH}{PA}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）連結AC交BD于O，連結OM，由中位線定理可得PA∥OM，故AP∥平面BDM；
（II）利用線面平行的性質可得GH∥PA，根據中位線定理即可得出結論．

解答 證明：（I）連結AC交BD于O，連結OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵O是AC的中點，又M是PC的中點，
∴OM∥PA，
又OM?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面PBD，
（II）∵PA∥平面BDM，PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=HG，
∴PA∥HG，又PA∥OM，
∴HG∥OM，
∵G是DM的中點，∴HG=$\frac{1}{2}$OM，
又OM=$\frac{1}{2}$PA，
∴HG=$\frac{1}{4}$PA，即$\frac{HG}{AP}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面平行的判定與性質，屬于中檔題．