Question

9．已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x²-2x+2
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若?x₁∈（0，+∞），均?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題可轉化為f（x）_max＜g（x）_max，根據函數的單調性分別求出f（x）的最大值和g（x）的最大值，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$，
①當a≥0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0，
所以f（x）的單調增區間為（0，+∞），
②當a＜0時，
令f'（x）＞0，得$0＜x＜-\frac{1}{a}$，
令f'（x）＜0，得$x＞-\frac{1}{a}$，
所以f（x）的單調增區間為（0，$-\frac{1}{a}$），
單調減區間為（$-\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）問題可轉化為f（x）_max＜g（x）_max，
已知g（x）=（x-1）²+1，x∈[0，1]，所以g（x）_max=2，
由（Ⅰ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，值域為R，故不符合題意；
當a＜0時，所以f（x）在（0，$-\frac{1}{a}$）上單調遞增，在（$-\frac{1}{a}$，+∞）單調遞減，
故f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），
解得：a＜-e^-3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．