Question

19．已知$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，函數$f（x）=\vec a•\vec b-1$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（1）當$θ=-\frac{π}{6}$時，求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區間$[-1，\sqrt{3}]$上是單調的．

Answer 1

分析 （1）根據向量的運算求解f（x）的解析式，化簡，將$θ=-\frac{π}{6}$帶入結合二次函數的性質可得答案；
（2）根據題意，在區間$[-1，\sqrt{3}]$上要么單調遞增，要么單調遞減，結合三角函數的性質可得答案；

解答 解：$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
函數$f（x）=\vec a•\vec b-1$，
可得：f（x）=x²+2xtanθ-1．
（1）當$θ=-\frac{π}{6}$時，函數f（x）=${x}^{2}+2x•tan（-\frac{π}{6}）-1={x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-1$．
其對稱軸x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，開口向上．
∴當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，f（x）取得最小值為：$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}-1$=$-\frac{4}{3}$．
當x=-1時，f（x）取得最大值為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴$f{（x）_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$f{（x）_{min}}=-\frac{4}{3}$；
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1．
其對稱軸x=-tanθ，
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是單調遞增，
則-tanθ≥$\sqrt{3}$．即tanθ$≤-\sqrt{3}$．
由正切函數性質可知：θ∈（$-\frac{π}{2}+kπ$，$-\frac{π}{3}+kπ$]．
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是單調遞減，
則-tanθ≤-1．即tanθ≥1，
由正切函數性質可知：θ∈[$\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ$）
由∵$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
∴當θ∈$（{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}}]或θ∈{[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）}$y=f（x）在區間$[-1，\sqrt{3}]$上是單調的．

點評 本題考查了向量的乘積運算和二次函數的性質的運用，單調性的討論！屬于中檔題．