Question

20．已知a+b＞0，比較$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$與$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的大小．并加以證明．

Answer 1

分析 比較法：將兩個式子作差變形，通過提取公因式化為完全平方與一個常數的積的形式，判斷符號，得出大小關系．

解答 解：$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a-b}{{b}^{2}}$+$\frac{b-a}{{a}^{2}}$=$\frac{（a+b）（a-b）^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$　
∵a+b＞0，（a-b）²≥0，
∴$\frac{（a+b）（a-b）^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$≥0，
∴$\frac{a}{{b}^{2}}$+$\frac{b}{{a}^{2}}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．

點評 本題考查不等式的證明．用作差的方法比較兩個式子的大小，注意將差化為因式積的形式，以便于判斷符號．