Question

17．用斜二測畫法畫一個周長為4的矩形的直觀圖，此直觀圖面積的最大值為（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 在已知圖形所在的空間中取水平平面，作X′軸，Y′軸使∠X′O′Y′=45°，然后依據平行投影的有關性質逐一作圖．利用基本不等式求直觀圖面積的最大值．

解答 解：（1）在已知ABCD中取AB、AD所在邊為X軸與Y軸，相交于O點（O與A重合），畫對應X′軸，Y′軸使∠X′O′Y′=45°
（2）在X′軸上取A′，B′使A′B′=AB，在Y′軸上取D′，
使A′D′=$\frac{1}{2}$AD，過D′作D′C′平行X′的直線，且等于A′D′長．
（3）連C′B′所得四邊形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直觀圖．
設矩形的長、寬分別為a，b，則a+b=2≥2$\sqrt{ab}$，
∴ab≤1，∴直觀圖面積的最大值為a$•\frac{1}{2}b•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選D．

點評 本題考查平面圖形的直觀圖的畫法：斜二測畫法，考查作圖能力，屬基礎知識的考查．