Question

7．在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點（0，$\sqrt{3}$）作直線l與曲線C交于點A、B，以線段AB為直徑的圓能否過坐標原點，若能，求出直線l的方程，若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由橢圓的定義可得曲線C的方程；
（2）設直線1：y=kx+$\sqrt{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯立消去y，根據根與系數的關系求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，再由以線段AB為直徑的圓過坐標原點，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0．求得k，得到直線方程．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）為焦點，長半軸為2的橢圓．
它的短半軸b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，
故曲線C的方程為：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）若能，則直線l的斜率存在，設直線1：y=kx+$\sqrt{3}$，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得$（{k}^{2}+4）{x}^{2}+2\sqrt{3}kx-1=0$，
△=16k²+16＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{{k}^{2}+4}$．
以線段AB為直徑的圓過坐標原點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+3$，
于是${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+4}-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+4}-\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，
化簡得-4k²+11=0，解得k²=$\frac{11}{4}$，即k=$±\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{11}}{2}x+\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力，是中檔題．