Question

15．在等比數列{a_n}中，a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）令b_n=log₂a_n，求數列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設出公比，利用通項公式建立關系求出公比和首項，可得a_n；．
（2）因為b_n=log₂a_n，求公差通項公式b_n；利用拆項法求解的前n項和T_n．

解答 解：（1）{a_n}為等比數列，設數列{a_n}的公比q，a₂=4，a₆=8a₃．
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}q=4\\{a_1}{q^5}=8{a_1}{q^2}\end{array}\right.$，解得a₁=2，q=2
∴${a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$；
（2）由（1）知，${b_n}={log_2}{2^n}=n$，
數列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$=$\{\frac{1}{n（n+1）}\}$
∴${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n•（n+1）}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
故得數列$\{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}\}$的前n項和${T_n}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式的求法和利用拆項法求解的前n項和，屬于中檔題．