Question

10．數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n n∈N^*
（I）證明數列{a_n} 是等差數列，并求其通項公式；
（II）設S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*），變形為a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}為等差數列，由已知利用通項公式即可得出．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得當n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6時，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數列，設公差為d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{n（8+10-2n）}{2}$=9n-n²．
∴當n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6時，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、含有絕對值的數列的前n項和的求法、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．