Question

19．在直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y-4=0相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若已知點P（2，3），過點P作圓O的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓的半徑，即可求圓O的方程；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線的方程．

解答 解：（1）圓心到直線的距離d=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2，
∴求圓O的方程為x²+y²=4；
（2）斜率不存在時，x=2滿足題意；
斜率存在時，設直線方程為y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{5}{12}$，切線的方程為5x-12y+26=0．
綜上所述切線的方程為x=2或5x-12y+26=0．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．