Question

4．已知點M（x₀，y₀）在圓O：x²+y²=4上運動（O為圓心），N（4，0），點P（x，y）為線段MN的中點．
（1）求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）求點P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值和最小值．
（3）設直線l：y=x+b與圓O相交于A，B兩點，問當b取何值時，三角形AOB的面積最大．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）求出圓心Q到直線3x+4y-86=0的距離，即可求點P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值和最小值．
（3）已知S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sin∠AOB，所以要使面積最大，即sin∠AOB要取最大，即可得出結論．

解答 解：（1）因為點P（x，y）是MN的中點，
所以x₀=2x-4，y₀=2y，
將用x，y表示的x₀，y₀代入到x${\;}_{0}^{2}$+y${\;}_{0}^{2}$=4中得（x-2）²+y²=1．此式即為所求軌跡方程．
（2）由（1）知點P的軌跡是以Q（2，0）為圓心，以1為半徑的圓．
點Q到直線3x+4y-86=0的距離d=$\frac{|6-86|}{\sqrt{32+42}}$=16．
故點P到直線3x+4y-86=0的距離的最大值為16+1=17，最小值為16-1=15．
（3）已知S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sin∠AOB
所以要使面積最大，即sin∠AOB要取最大，
顯然當b=2或-2時，∠AOB=90°，此時sin∠AOB取最大值1．
所以b的值為2或-2

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．