Question

15．如圖，平面四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求證：FC∥平面EAD．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO，推導(dǎo)出AC⊥BD，AC⊥FO，由此能證明AC⊥平面BDEF．
（2）推導(dǎo)出BC∥平面EAD，BF∥平面EAD，從而平面BFC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．

解答 證明：（1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，（2分）
又O為AC中點(diǎn)，且FA=FC，所以AC⊥FO，（4分）
因?yàn)镕O∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．  （6分）
（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD與BDEF均為菱形，
所以BC∥AD，又BC?平面EAD，AD?平面EAD，
所以BC∥平面EAD，（8分）
又BF∥DE，又BF?平面EAD，DE?平面EAD，
所以BF∥平面EAD，（10分）
所以平面BFC∥平面EAD，
又FC?平面BFC，所以FC∥平面EAD．  （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．