Question

7．已知橢圓x²+（m+3）y²=m，（m＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值及橢圓長軸、焦點坐標、頂點坐標．

Answer 1

分析 化簡橢圓方程為標準方程，求出a，b利用離心率求出m，然后求解橢圓長軸、焦點坐標、頂點坐標．

解答 解：原方程變形為$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{{\frac{m}{m+3}}}=1$，因為m＞0，所以長軸為x軸，即$a=\sqrt{m}$，$b=\sqrt{\frac{m}{m+3}}$，c=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}$，
所以$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，將c和a代入解得m=1，橢圓的標準方程為${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{4}}}=1$，
所以長軸長為2，短軸長為1，焦點為$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，
頂點坐標分別為（1，0）、（-1，0）、$（{0，\frac{1}{2}}）$、$（{0，-\frac{1}{2}}）$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．