Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，G是雙曲線C上一點，且滿足|GF₁|-7|GF₂|=0，則C經(jīng)過第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-7|GF₂|=0，可得a+ex₀=7（ex₀-a），x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)G點的橫坐標為x₀，注意到x₀≥a．
由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵|GF₁|-7|GF₂|=0，
∴a+ex₀=7（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{b}{a}$≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴C經(jīng)過第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]．
故選A．

點評 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題能力．