Question

20．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點$（{1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F₂PF₁=60°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，設出橢圓方程，代入已知的坐標求得b，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求得c及2a，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4}{3}$，然后代入三角形面積公式可得△PF₁F₂的面積．

解答 解：（1）∵橢圓C的焦點在x軸上，且長軸為4，
故可設橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
又點$（{1\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓C上，∴$\frac{1}{4}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，
解得b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由（1）知，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{3}$，|PF₁|+|PF₂|=4．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：
$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos∠{F}_{1}P{F}_{2}$，
即4c²=4a²-3|PF₁||PF₂|，
∴$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4}{3}$．
則S=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了焦點三角形中橢圓定義及余弦定理的應用，是中檔題．