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11.已知數列{an}中,a1=1,其前n項和為Sn,且滿足an=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,(n≥2)
(1)求證:數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列;
(2)求:前n項和公式Sn
(3)證明:當n≥2時,S1+$\frac{1}{2}$S2+$\frac{1}{3}$S3+…+$\frac{1}{n}$Sn<$\frac{3}{2}$.

分析 (1)當n≥2時,${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,Sn-1-Sn=2SnSn-1,由此能證明數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項,2為公差的等差數列.
(2)由$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+(n-1)×2=2n-1,能求出前n項和公式Sn
(3)由$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n(2n-1)}$$<\frac{1}{n(2n-2)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$,利用裂項求和法能證明S1+$\frac{1}{2}$S2+$\frac{1}{3}$S3+…+$\frac{1}{n}$Sn<$\frac{3}{2}$.

解答 證明:(1)∵數列{an}中,a1=1,其前n項和為Sn,且滿足an=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,(n≥2)
∴當n≥2時,${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$,Sn-1-Sn=2SnSn-1
∴當n≥2時,$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$,
∴數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項,2為公差的等差數列.
解:(2)由(1)得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+(n-1)×2=2n-1,
∴Sn=$\frac{1}{2n-1}$.
證明:(3)由(2)知:
當n≥2時,$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{n(2n-1)}$$<\frac{1}{n(2n-2)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$,
∴S1+$\frac{1}{2}$S2+$\frac{1}{3}$S3+…+$\frac{1}{n}$Sn<1+$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$)<$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$<$\frac{3}{2}$.
∴S1+$\frac{1}{2}$S2+$\frac{1}{3}$S3+…+$\frac{1}{n}$Sn<$\frac{3}{2}$.

點評 本題考查等差數列的證明,考查數列的前n項和公式的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.

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②D1C⊥AC1
③在棱DC上存在一點E,使D1E∥平面A1BD,這個點為DC的中點;
④在棱AA1上不存在點F,使三棱錐F-BCD的體積為直 四棱柱體積的$\frac{1}{5}$.
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喜歡吃辣不喜歡吃辣合計
男生40                  1050                           
女生2030                      50
合計6040100
已知在全部100人中隨機抽取1人抽到喜歡吃辣的學生的概率為$\frac{3}{5}$.
p(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
(1)請將上面的列表補充完整;
(2)是否有99.9%以上的把握認為喜歡吃辣與性別有關?說明理由.

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