Question

6．如圖，在直四棱柱（側棱與底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，給出以下結論：
①異面直線A₁B₁與CD₁所成的角為45°；
②D₁C⊥AC₁；
③在棱DC上存在一點E，使D₁E∥平面A₁BD，這個點為DC的中點；
④在棱AA₁上不存在點F，使三棱錐F-BCD的體積為直 四棱柱體積的$\frac{1}{5}$．
其中正確的有①②③．

Answer 1

分析 直接利用已知條件推出異面直線所成的角判斷①的正誤；通過直線與平面的直線關系判斷②的正誤；通過直線與平面的平行判斷③的正誤；幾何體的體積判斷④的正誤即可

解答 解：①由題意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，異面直線A₁B₁與CD₁所成的角為45°，所以①正確．
②由題意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四邊形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；所以②正確；

③在棱DC上存在一點E，使D₁E∥平面A₁BD，這個點為DC的中點，因為：
DC=DD₁=2AD=2AB，如圖HG∥D₁E且HG=$\frac{1}{2}$D₁E，所以E為中點，所以③正確．
④設AB=1，則棱柱的體積為：$\frac{1}{2}$ （1+2）×1×1=$\frac{3}{2}$，
當F在A₁時，A₁-BCD的體積為：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×1=$\frac{1}{3}$，
顯然體積比為$\frac{2}{9}$＞$\frac{1}{5}$，
所以在棱AA₁上存在點F，使三棱錐F-BCD的體積為直四棱柱體積的$\frac{1}{5}$，所以④不正確．
正確結果有①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查棱柱的結構特征，幾何體的體積的求法，直線與平面的位置關系的判斷，考查空間想象能力計算能力