Question

18．在平面直角坐標系中，定點F（1，0），P是定直線l：x=-1上一動點，過點P作l的垂線與線段PF的垂直平分線相交于點Q，記Q點的軌跡為曲線T，過點E（2，0）作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線AB，CD交曲線T于點A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點．
（1）求曲線T的方程；
（2）若k₁+k₂=1，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可得點Q的軌跡是以F為焦點，以直線l₁：x=-1為準線的拋物線，即可求曲線T的方程；
（2）設AB的方程為y=k₁（x-2），聯立拋物線方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，求出M，N的坐標，由此能證明直線MN恒過定點（2，2）．

解答 （1）解：過點P作l的垂線與線段PF的垂直平分線相交于點Q，∴|QP|=|QF|，即點Q到點F（1，0）的距離等于點Q到直線l₁：x=-1的距離，
由拋物線的定義可得點Q的軌跡是以F為焦點，以直線l₁：x=-1為準線的拋物線，
方程為y²=4x．
（2）證明：設AB的方程為y=k₁（x-2），聯立拋物線方程得k₁y²-4y-8k₁=0，y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-4m，
AB中點M（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{1}}$），
同理，點N（$\frac{2}{{{k}_{2}}^{2}}$+2，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴k_MN=$\frac{{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$=k₁k₂，
∴MN：y-$\frac{2}{{k}_{1}}$=k₁k₂[x-（$\frac{2}{{{k}_{1}}^{2}}$+2）]，
即y=k₁k₂（x-2）+2，
∴直線MN恒過定點（2，2）．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．