Question

5．某校高三數學競賽初賽考試結束后，對考生成績進行統計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分為六組，第一組．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數依次成等差數列，且第六組有4人．
（1）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數據的平均數M；
（2）現根據初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y．若|x-y|≥10，則稱此二人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率P₁；
（3）以此樣本的頻率當作概率，現隨機在這組樣本中選出3名學生，求成績不低于120分的人數ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖的性質即可得出．
（2）依題意可得：第四組人數為：$4×\frac{0.015}{0.005}$=12，可得P₁=$\frac{{∁}_{12}^{1}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$．
（3）依題意可得：樣本總人數為：$\frac{4}{0.05}$=80，成績不低于120分的人數為：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在樣本中任選1人，其成績不低于120分的概率=$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．由已知ξ的可能取值為0，1，2，3．ξ～B$（3，\frac{3}{10}）$，即可得出．

解答 解：（1）頻率分布直方圖見解析，
M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5；
（2）依題意可得：第四組人數為：
$4×\frac{0.015}{0.005}$=12，
故P₁=$\frac{{∁}_{12}^{1}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{16}^{2}}$=$\frac{2}{5}$；
（3）依題意可得：樣本總人數為：$\frac{4}{0.05}$=80，成績不低于120分的人數為：80×（0.05+0.10+0.15）=24，故在樣本中任選1人，其成績不低于120分的概率=$\frac{24}{80}$=$\frac{3}{10}$．由已知ξ的可能取值為0，1，2，3．
ξ～B$（3，\frac{3}{10}）$，P（ξ=0）=$（1-\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{343}{1000}$，P（ξ=1）=${∁}_{3}^{1}（1-\frac{3}{10}）^{2}×\frac{3}{10}$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${∁}_{3}^{2}（1-\frac{3}{10}）×（\frac{3}{10}）^{2}$=$\frac{189}{1000}$，
P（ξ=3）=$（\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{27}{1000}$．ξ的分布列如下

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

故Eξ=$3×\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、二項分布列的計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．