Question

6．已知實數a滿足下列兩個條件：
①關于x的方程ax²+3x+1=0有解；
②代數式log₂（a+3）有意義．
則使得指數函數y=（3a-2）^x為減函數的概率為（　�。�

• A． $\frac{4}{63}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{3}{63}$
• D． $\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 根據題意先確定是幾何概型中的長度類型，由實數a滿足下列兩個條件得出關于a的不等式，并求出構成的區域長度，再求出指數函數y=（3a-2）^x為減函數的數a構成的區域長度，再求兩長度的比值．

解答 解：：①關于x的方程ax²+3x+1=0有解，
則a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤$\frac{9}{4}$，且a≠0，綜合得：a≤$\frac{9}{4}$；
②代數式log₂（a+3）有意義?a＞-3．
綜合得：-3＜a≤$\frac{9}{4}$．
滿足兩個條件：①②數a構成的區域長度為$\frac{9}{4}$+3=$\frac{21}{4}$，
指數函數y=（3a-2）^x為減函數?0＜3a-2＜1?$\frac{2}{3}$＜a＜1．
則其構成的區域長度為：1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
則使得指數函數y=（3a-2）^x為減函數的概率為$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{21}{4}}$=$\frac{4}{63}$
故選：A．

點評 本題主要考查概率的建模和解模能力，本題是長度類型，思路是先求得試驗的全部構成的長度和構成事件的區域長度，再求比值．