Question

若奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）內是減函數(shù)，且f（-2）=0，則不等式x•f（x）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）內是減函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）內是減函數(shù)．且f（-2）=f（2）=0，
不等式x•f（x）＞0等價為

x＞0 f(x)＞0=f(2)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-2)

，運用單調性去掉f，解出它們，再求并集即可．

解答： 解：奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）內是減函數(shù)，
則f（x）在（0，+∞）內是減函數(shù)．
且f（-2）=f（2）=0，
不等式x•f（x）＞0等價為

x＞0 f(x)＞0=f(2)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-2)

，
即有

x＞0 x＜2

或

x＜0 x＞-2

，
即有0＜x＜2或-2＜x＜0．
則解集為（-2，0）∪（0，2）．
故答案為：（-2，0）∪（0，2）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用：解不等式，注意討論x的范圍，屬于中檔題．