Question

已知O為坐標原點，

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=(0，a)，

OC

=(3，4)，記|

PA

|、|

PB

|、|

PC

|中的最大值為M，當a取遍一切實數時，M的取值范圍是（　　）

• A、[

  7

  ，+∞)
• B、[7+2

  6

  ，+∞)
• C、[7-2

  6

  ，+∞)
• D、[7，7+2

  6

  )

Answer 1

考點：向量的模

專題：平面向量及應用

分析：對a分類討論，當a=0時，M≥

5

2

．當a=7時，（A，B，C三點共線）時，則當P落在AB的中點上時，M取最小值．
當a≠0，且a≠7時，當P落在△ABC的外心Q上時，且Q最小時，M有最小值．由于Q所在的直線與AB垂直，故Q落在直線y=x上．利用直線與拋物線相交即可得出．

解答： 解：∵

OP

=(x，y)，

OA

=(a，0)，

OB

=(0，a)，

OC

=(3，4)，
當a=0時，P取AC的中點時，M≥

5

2

．
當a=7時，（A，B，C三點共線）時，則當P落在AB的中點上時，M取最小值，M≥

7 2

2

．
當a≠0，且a≠7時，當P落在△ABC的外心Q上時，且Q最小時，M有最小值．
∵Q所在的直線與AB垂直，故Q落在直線y=x上．
若PA²≥PB²，則y≥x；
當y≥x時，M²=max{PA²，PC²}．
∵到點C的距離等于到x軸的距離的點的軌跡是拋物線：（x-3）²=8（y-2），
交直線y=x于P（7-2

6

，7-2

6

），
∴M_min=7-2

6

，
∴當a=2時，M取最小值7-2

6

．
∴M的取值范圍是[7-2

6

，+∞)．
故選：C．

點評：本題考查了向量的差的模的運算、分類討論思想方法、三角形外心的性質、直線與拋物線相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．