Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（m∈R），在區間[0，

π

4

]內最大值為

2

，
（1）求實數m的值；
（2）在△ABC中，三內角A、B、C所對邊分別為a，b，c，且f(

3

4

B)=1，a+c=2，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用函數的解析式通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數的解析式，通過正弦函數的最值，求實數m的值；
（2）利用f(

3

4

B)=1，求出B的值，通過a+c=2以及正弦定理，直接求b的表達式，通過A的范圍集合正弦函數的值的范圍，求解b取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m
=2cosxsinx+2cos²x+m
=sin2x+cos2x+m+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+m+1，
當x∈[0，

π

4

]時，

2

sin(2x+

π

4

)最大值為

2

，
在區間[0，

π

4

]內函數的最大值為

2

，
∴

2

+m+1=

2

∴m=-1
（2）f(

3

4

B)=1⇒

2

sin(

3

2

B+

π

4

)=1⇒

3

2

B+

π

4

=

3π

4

，（∵0＜B＜π）
解得B=

π

3

由正弦定理得：b=

a+c

sinA+sinC

•sinB=

3

2

•

2

sinA+sin( 2π 3 -A)

sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

(

3

2

sinA+

1

2

cosA)=

3

sin(A+

π

6

)
∴

3

2

＜sinA+sin(

2π

3

-A)≤

3

，（當A=

π

3

時取最大值

3

）
∴1≤b＜2，（當△ABC為正三角形時，b=1）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，二倍角公式的應用，正弦定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．