Question

2．已知函數$f（x）=a{x^3}-\frac{3}{2}（a+2）{x^2}+6x-3$
（Ⅰ） 當a=1時，求函數f（x）的極小值；
（Ⅱ）當a≤0時，試討論曲線y=f（x）與x軸公共點的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，判斷函數的單調性，從而求出函數的極大值和極小值，判斷出函數的零點個數即可．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=3x²-9x+6=3（x-2）（x-1），
當x＜1或x＞2，f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上遞增，
f（x）在（1，2）上遞減，
所以f（x）極小值為f（2）=-1…（5分）
（Ⅱ） ①若a=0時，則f（x）=-3（x-1）²，
∴f（x）的圖象與x軸只有一個交點；
 ②若a＜0時，則$\frac{2}{a}＜1$，
∵${f^'}（x）=3a{x^2}-3（a+2）x+6=3a（x-\frac{2}{a}）（x-1）$，
當x＞1或$x＜\frac{2}{a}$時，f'（x）＜0；
當$\frac{2}{a}＜x＜1$時，f'（x）＞0；
∴f（x）極大值為$f（1）=-\frac{a}{2}＞0$，
f（x）的極小值為$f（\frac{2}{a}）=-4{（{\frac{1}{a}-\frac{3}{4}}）^2}-\frac{3}{4}＜0$，
∴f（x）的圖象與x軸有三個交點；
綜上知，若a=0，f（x）的圖象與x軸只有一個交點；
若a＜0，f（x）的圖象與x軸有三個交點…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數的零點問題，是一道中檔題．