Question

13．已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）相交于A，B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）是否存k使△OAB的面積等于1，若存在求k的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）畫出圖象，利用韋達定理求出直線的斜率，通過斜率的乘積為-1，證明OA⊥OB；
（2）求出三角形的面積，然后利用方程是否有解，得出結果．

解答 解：（1）如圖所示，由拋物線y²=-x與直線y=k（x+1），消去x得，ky²+y-k=0．

設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根與系數的關系得y₁•y₂=-1，y₁+y₂=-$\frac{1}{k}$．
∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁=-x₁，y₂=-x₂，∴y₁•y₂=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$═-1，∴OA⊥OB．
（2）設直線與x軸交于點N，顯然k≠0．
令y=0，得x=-1，即N（-1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=1•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$═$\sqrt{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$=1，方程不成立，
不存在k使△OAB的面積等于1．

點評 本題考查拋物線與直線的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．