Question

14．$（{ax+\frac{1}{x}}）{（{\frac{1}{x}-2x}）^5}$的展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為-3，則展開式中x²的系數(shù)為-80．

Answer 1

分析 令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為（a+1）（1-2）⁵=-（a+1）=-3，解得a．再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)的和為（a+1）（1-2）⁵=-（a+1）=-3，則a=2，
${（{\frac{1}{x}-2x}）^5}$的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${∁}_{5}^{r}$$（\frac{1}{x}）^{5-r}（-2x）^{r}$=$（-2）^{r}{∁}_{5}^{r}$x^2r-5（r=0，1，2，3，4，5）．
要得到x²，$（{2x+\frac{1}{x}}）$中的2x與${T_4}=C_5^3{（{-2}）^3}{x^1}$相乘，得到-160x²；$\frac{1}{x}$與${T_5}=C_5^4{（{-2}）^4}{x^3}$相乘，得到80x²；
x²的系數(shù)為-160+80=-80．
故答案為：-80．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．