Question

7．已知函數$f（x）=\frac{1}{3}{f}^{'}（e）x+xlnx$（其中，e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求f′（e）；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值；
（Ⅲ）若整數k使得f（x）＞k（x-1）恒成立，求整數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數，計算f′（e）即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出f（x）的極值即可；
（Ⅲ）由題意f（x）-k（x-1）＞0對任意x＞0恒成立．令g（x）=f（x）-k（x-1）=x+xlnx-k（x-1），求出函數g（x）的導數，求出g（x）的最小值，從而求出滿足條件的k的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{1}{3}f'（e）+1+lnx$…（1分）
取x=e得，$f'（e）=\frac{1}{3}f'（e）+1+lne=\frac{1}{3}f'（e）+2$，解得f'（e）=3…（2分）
（Ⅱ）f（x）=x+xlnx，f'（x）=lnx+2…（3分）
易知f（x）的定義域為（0，+∞），
當0＜x＜e^-2時，f'（x）＜0，即f（x）在（0，e^-2）遞減；
當x＞e^-2時，f'（x）＞0，即f（x）在（e^-2，+∞）遞增…（5分）
函數f（x）在x=e^-2處取得極小值，且極小值為f（e^-2）=-e^-2，無極大值…（7分）
（Ⅲ）由題意f（x）-k（x-1）＞0對任意x＞0恒成立．
令g（x）=f（x）-k（x-1）=x+xlnx-k（x-1），g'（x）=lnx+2-k，x＞0…（8分）
當0＜x＜e^k-2時，g'（x）＜0，即g（x）在（0，e^k-2）遞減；
當x＞e^k-2時，g'（x）＞0，即g（x）在（e^k-2，+∞）遞增．
所以函數g（x）在x=e^k-2處取得極小值，也為最小值．
即$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k$…（9分）
由題意，$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k＞0$，k＞e^k-2＞0…（10分）
因為2＜e＜3，所以k∈{1，2，3}時，
$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k＞0$…（11分）
當k＞3時，${k-e}^{k-2}＞k-{2}^{k-2}=k-{（1+1）}^{k-2}≥k-[1+（k-2）+{C}_{k-2}^{2}]≥0$，
所以整數k∈{1，2，3}…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．