Question

17．設a＞0，b＞0，且ab=2a+b，則a+b的最小值為2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=$\frac{2a}{a-1}$＞0，解得a＞1．變形a+b=a+$\frac{2a}{a-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且ab=2a+b，b=$\frac{2a}{a-1}$＞0，解得a＞1．
則a+b=a+$\frac{2a}{a-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$+3≥3+2$\sqrt{（a-1）×\frac{2}{a-1}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當a=$\sqrt{2}$+1時取等號．
∴a+b的最小值為2$\sqrt{2}$+3．
故答案為：$2\sqrt{2}+3$．

點評 本題考查了變形利用基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．