Question

11．如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在$\widehat{AB}$上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求證：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PCB．

Answer 1

分析 （1）推導出OE∥PA，從而OE∥平面PAC，由OM∥AC，得OM∥平面PAC．由此能證明平面MOE∥平面PAC．
（2）推導出BC⊥AC，PA⊥BC，從而BC⊥平面PAC．由此能證明平面PAC⊥平面PBC．

解答 （本小題滿分10分）
證明：（1）因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA．
因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，
所以OE∥平面PAC．因為OM∥AC，
又AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以OM∥平面PAC．
因為OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）
（2）因為點C在以AB為直徑的⊙O上，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因為AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC．
因為BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）

點評 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．