Question

18．已知函數f（x）=aln（x+1）-x²，任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，則實數a的取值范圍為a≥15．

Answer 1

分析 利用導數判斷函數的單調性，求出函數的定義域，利用函數的導數通過恒成立，轉化求解即可．

解答 解：因為$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$表示點（x₁+1，f（x₁+1））與點（x₂+1，f（x₂+1））連線的斜率，
因為x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞1$恒成立，
所以函數圖象在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，
即函數的導數大于1在（1，2）內恒成立，由函數的定義域知，x＞-1，
所以f'（x）=$\frac{a}{x+1}-2x＞1$在（1，2）內恒成立，即a＞2x²+3x+1在（1，2）內恒成立，
即a大于或等于2x²+3x+1在[1，2]上的最大值，
由二次函數的性質知，y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調增函數，
故x=2時，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值為15，故a＞15．
故答案為：a≥15．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，二次函數的性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．