Question

6．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，則x+y的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由條件通過三角形的重心與三點共線推出∴$\frac{1}{3y}$+$\frac{1}{3x}$=1，然后根據基本不等式即可求出x+y的最小值．

解答 解：根據條件：$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{y}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{x}\overrightarrow{AM}$；
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3x}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AN}$；
又M，G，N三點共線；
∴$\frac{1}{3y}$+$\frac{1}{3x}$=1；
∵x＞0，y＞0；
∴x+y=（x+y）（$\frac{1}{3x}$+$\frac{1}{3y}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{x}{3y}$+$\frac{y}{3x}$+$\frac{1}{3}$≥$\frac{2}{3}$+2$\sqrt{\frac{x}{3y}•\frac{y}{3x}}$=$\frac{4}{3}$；
x+y的最小值為$\frac{4}{3}$．當且僅當x=y=$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點評 考查三角形重心的概念及性質，向量數乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三點共線的充要條件，基本不等式的應用．