Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓C上，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{b^2}-\frac{5}{3}}}$=1上異于其頂點的任一點P，作圓O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的兩條切線，切點分別為M，N（M，N不在坐標軸上），若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，將P代入橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意：C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$，設點P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），求出PM，PN方程，求得直線MN方程，求出MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，結合橢圓方程，即可得到定值．

解答 解：（1）由題意得：c=1，所以a²=b²+1，
又因為點$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓C上，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
可解得a²=4，b²=3，
所以橢圓標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：由題意：C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$，
設點P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
因為M，N不在坐標軸上，所以${k_{PM}}=-\frac{1}{{{k_{OM}}}}=-\frac{x_2}{y_2}$，
直線PM的方程為$y-{y_2}=-\frac{x_2}{y_2}（x-{x_2}）$，
化簡得：${x_2}x+{y_2}y=\frac{4}{3}$--------------④
同理可得直線PN的方程為${x_3}x+{y_3}y=\frac{4}{3}$---------------⑤
把P點的坐標代入④、⑤得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}{x_1}+{y_2}{y_1}=\frac{4}{3}\\{x_3}{x_1}+{y_3}{y_1}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
所以直線MN的方程為${x_1}x+{y_1}y=\frac{4}{3}$，
令y=0，得$m=\frac{4}{{3{x_1}}}$，令x=0得$n=\frac{4}{{3{y_1}}}$，
所以${x_1}=\frac{4}{3m}$，${y_1}=\frac{4}{3n}$，又點P在橢圓C₁上，
所以${（\frac{4}{3m}）^2}+3{（\frac{4}{3n}）^2}=4$，
即$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}=\frac{3}{4}$為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查定值的證明，注意運用圓上一點的切線方程，考查直線方程運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．