Question

11．已知直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$和圓$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，直線上的點到圓C上的點的最小距離等于2
（1）求直線L的直角坐標方程；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）由直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$=4，由此能求出直線L的直角坐標方程．
（2）由圓$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，得（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}k$）²=k²，圓C的圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}k$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}k$），半徑r=|k|，由此利用直線上的點到圓C上的點的最小距離等于2，能求出k．

解答 解：（1）∵直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}-cosθsin\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$=4，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}x=4$．
∴整理，得：直線L的直角坐標方程為x-y+4$\sqrt{2}$=0．
（2）∵圓$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，
∴圓C：$ρ=2k（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=2k×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ）=$\sqrt{2}k（cosθ-sinθ）$，
∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}kρcosθ-\sqrt{2}kρsinθ$，
∴x²+y²=$\sqrt{2}kx-\sqrt{2}ky$，
即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}k$）²=k²，
∴圓C的圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}k$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}k$），半徑r=|k|，
∵直線上的點到圓C上的點的最小距離等于2，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}k+\frac{\sqrt{2}}{2}k+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|k|+2，∴|k+4|=|k|+2，
解得k=-1．

點評 本題考查直線的直角坐標方程的求法，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標與直角坐標互化公式和點到直線的距離公式的合理運用．