Question

2．某企業有甲、乙兩個分廠生產某種零件，按規定內徑尺寸（單位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件為優質品，從甲、乙兩個分廠生產的零件中各抽取出500件，量其內徑尺寸的結果如下表：
甲廠的零件內徑尺寸：

分組	[29.86， 29.90）	[29.90，29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
頻數	15	30	125	198	77	35	20

乙廠的零件內徑尺寸：

分組	[29.86， 29.90）	[29.90， 29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
頻數	40	70	79	162	59	55	35

（1）由以上統計數據填下面2×2列聯表，并問是否有99.9%的把握認為“生產的零件是否為優質品與在不同分廠生產有關”：

	甲廠	乙廠	合計
優質品
非優質品
合計

附表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（2）現用分層抽樣方法（按優質品和非優質品分二層），從乙廠中抽取5件零件，從這已知5件零件中任意抽取2件，將這2件零件中的優質品數記為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2×2列聯表，

	甲廠	乙廠	合計
優質品	400	300	700
非優質品	100	200	300
合計	500	500	1000

利用公式可得觀測值k，進而得出結論．
（2）分層抽樣方法（按優質品和非優質品分二層），從乙廠中抽取3件優質品，2件非優質品．X的0，1，2，
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得概率及其數學期望．

解答 解：（1）由已知可得：2×2列聯表，

	甲廠	乙廠	合計
優質品	400	300	700
非優質品	100	200	300
合計	500	500	1000

k=$\frac{100×（400×200-100×300）}{500×500×700×300}$≈47.619＞10.828，
因此有99.9%的把握認為“生產的零件是否為優質品與在不同分廠生產有關”．
（2）分層抽樣方法（按優質品和非優質品分二層），
從乙廠中抽取3件優質品，2件非優質品．X的0，1，2，
P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{3}{10}$．
X的分布列

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

數學期望E（X）=0+$1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗數學及其公式、超幾何分布列及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．