Question

14．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n，正項等比數列{b_n}滿足：b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足：c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，其前n項和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出首項，利用a_n=S_n-S_n-1，求解a_n，設{b_n}的公比為q，由題意得q＞0，且b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．求解數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）化簡c_n，由錯位相減法求解前n項和，推出結果即可．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，${a_1}={S_1}={1^2}+2×1=3$，當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當n=1時也適合上式，所以a_n=2n+1．
設{b_n}的公比為q，由題意得q＞0，且${b_1}={a_1}-1=2，{b_4}=2{b_2}+{b_3}∴{b_2}{q^2}=2{b_2}+{b_2}q$，
∴q²-q-2=0∴q=2或q=-1（舍去），
故數列{b_n}的通項公式為${b_n}={2^n}$．
（Ⅱ）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+1}{2^n}$由錯位相減法得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$，∵$\frac{2n+5}{2^n}＞0∴{T_n}＜5$，
又${c_n}=\frac{2n+1}{2^n}＞0∴{T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

點評 本題考查數列求和，數列通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力．