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10.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足${b_1}=1,{b_2}=\frac{1}{2}$,若n∈N*時,anbn+1-bn+1=nbn
(Ⅰ)求{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=anbn,求{cn}的前n項和Sn

分析 (I)由數(shù)列{bn}滿足${b_1}=1,{b_2}=\frac{1}{2}$,anbn+1-bn+1=nbn.n=1時,可得a1b2-b2=b1,即$\frac{1}{2}{a}_{1}$-$\frac{1}{2}$=1,解得a1.可得an=2n+1.代入anbn+1-bn+1=nbn.利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(II)cn=anbn=(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n-1}$.利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(I)∵數(shù)列{bn}滿足${b_1}=1,{b_2}=\frac{1}{2}$,anbn+1-bn+1=nbn.∴n=1時,可得a1b2-b2=b1
即$\frac{1}{2}{a}_{1}$-$\frac{1}{2}$=1,解得a1=3.
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
∴[(2n+1)-1]bn+1=nbn,可得bn+1=$\frac{1}{2}$bn
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,公比為$\frac{1}{2}$.
∴bn=$(\frac{1}{2})^{n-1}$.
(II)cn=anbn=(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n-1}$.
∴{cn}的前n項和Sn=$3×1+5×\frac{1}{2}$+7×$(\frac{1}{2})^{2}$+…+(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n-1}$.
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×\frac{1}{2}+5×(\frac{1}{2})^{2}$+…+(2n-1)×$(\frac{1}{2})^{n-1}$+(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n}$,
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=3+$2(\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}})$-(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n}$=1+$2×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-(2n+1)×$(\frac{1}{2})^{n}$,
∴Tn=10-$\frac{2n+5}{{2}^{n-1}}$

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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