Question

18．一個暗箱中有大小相同的4只求，其中有k（k∈N）只白球，其余的為黑球，每次從中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲從暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙球是從暗箱中一次性取出2只球．
（1）當k=2時，分別寫出甲、乙總得分ξ、η的分布列．
（2）若要使甲總得分比乙總得分高的概率達到最大，則k的值為多少．

Answer 1

分析 （1）當k=2時，甲總得分ξ的可能取值為2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出甲總得分ξ的分布列；乙總得分η的可能取值為2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出乙總得分η的分布列．
（2）當k=2時，甲總得分比乙總得分高的概率為P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）；當k=1時，甲總得分比乙總得分高的概率為P（ξ＞η）=P（ξ=4）P（η=3）；當k=3時，甲總得分比乙總得分高的概率為P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）．由此能求出當k=2時甲總得分比乙總得分高的概率達到最大．

解答 解：（1）當k=2時，甲總得分ξ的可能取值為2，3，4，
P（ξ=2）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$．
∴甲總得分ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

乙總得分η的可能取值為2，3，4，
P（η=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
∴乙總得分η的分布列為：

η	2	3	4
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

（2）由（1）知當k=2時，甲總得分比乙總得分高的概率為：
P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$．
當k=1時，甲總得分比乙總得分高的概率為：
P（ξ＞η）=P（ξ=4）P（η=3）=（$\frac{3}{4}$）²×$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{9}{32}$，
當k=3時，甲總得分比乙總得分高的概率為：
P（ξ＞η）=P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=4）
=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
比較三者得到當k=2時甲總得分比乙總得分高的概率達到最大．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．