Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求sin（α-β）的值；
（Ⅱ）求α+2β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方關系求出sinα，sinβ的值，結合兩角差的正弦求得sin（α-β）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），結合角的范圍求得α+2β的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，$cosα=\frac{\sqrt{2}}{10}，cosβ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵α，β為銳角，∴sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{13\sqrt{10}}{50}$；
（Ⅱ）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}+（-\frac{\sqrt{10}}{10}）×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜α+2β＜$\frac{3π}{2}$，
∴α+2β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，考查同角三角函數基本關系式的應用及兩角和與差的正弦余弦，是中檔題．