Question

18．某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球形，按照設計要求中間圓柱體部分的容積為16π立方米，且L≥2r．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為1千元，半球形部分每平方米建造費用為$\frac{c}{2}（c＞0）$千元．設該容器的建造費用為y千元．（圓柱體體積公式為V=πr²l，球的體積公式為$V=\frac{4}{3}π{r^3}$，圓柱側面積公式為S=2πrl，球的表面積公式為S=4πr²）
（1）寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該容器的建造費用最小時的r．

Answer 1

分析 （1）由圓柱的體積得到母線長與半徑的關系，再由l≥2r求得半徑范圍，結合表面積公式求得y關于r的函數表達式；
（2）對（1）中的解析式求導數，由導函數為0求得r值，然后分類求得最值．

解答 解：（1）${V}_{圓柱}=π{r}^{2}l=16π$，∴$l=\frac{16}{{r}^{2}}$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}$，
∵l≥2r，∴$\frac{16}{{r}^{2}}≥2r$，得2r³≤16，
∴0＜r≤2，
∴$y=4π{r}^{2}•\frac{c}{2}+2πrl=2πc{r}^{2}+\frac{32π}{r}$，（0＜r≤2）；
（2）y′=4πcr-$\frac{32π}{{r}^{2}}=\frac{4πc{r}^{3}-32π}{{r}^{2}}$，
令y′=0，得4πcr³-32π=0，
∴$r=\frac{2}{\root{3}{c}}$，
①當$\frac{2}{{\root{3}{c}}}≥2$，即0＜c≤1時，y'＜0，y在r∈（0，2]上單調遞減，
∴當r=2時，y取得最小值．
②當$0＜\frac{2}{{\root{3}{c}}}＜2$，即c＞1時，

r	$（0，\frac{2}{{\root{3}{c}}}）$	$\frac{2}{{\root{3}{c}}}$	$（\frac{2}{{\root{3}{c}}}，2]$
y'	-	0	+
y	↘	極小值	↗

∴當r=$\frac{2}{\root{3}{c}}$時，y取得最小值．
綜上所述，①當0＜c≤1，r=2時，y取最小值，
②當c＞1，$r=\frac{2}{{\root{3}{c}}}$時，y取最小值．

點評 本題考查函數模型的性質及應用，考查了利用導數求函數的最值，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．