Question

13．若函數f（x）=-x³+3x在（3-a²，2a）上有最大值，則實數α的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（\sqrt{2}，\sqrt{5}]$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $（\sqrt{2}，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 求函數f（x）=-x³+3x的導數，研究其最大值取到的位置，由于函數在區間（3-a²，2a）上有最大值，故最大值點的橫坐標是集合（3-a²，2a）的元素，由此可以得到關于參數a的等式，解之求得實數a的取值范圍

解答 解：由題 f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0解得-1＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜-1或x＞1．
由此得函數在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．
故函數在x=1處取極大值，判斷知此極大值必是區間（3-a²，2a）上的最大值
∴故有3-a²＜1…①，2a＞1…②，解得：a＞$\sqrt{2}$，
又f（1）=2，2=-x³+3x，解得x=-2或x=1，
函數f（x）=-x³+3x在（3-a²，2a）上有最大值，必須-2≤3-a²，解得a∈[$-\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]
綜上知a∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]．
故選：B．

點評 本題考查用導數研究函數的最值，利用導數研究函數的最值是導數作為數學中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導，確定單調性，得出最值．