Question

13．設正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，若a₃+a₅=20，a₂a₆=64，則S₄=（　　）

• A． 63或126
• B． 252
• C． 120
• D． 63

Answer 1

分析 設正項等比數列{a_n}公比為q，且0＜q=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，根據a₃+a₅=20，a₂a₆=64=a₃a₅，解得a₃=16，a₅=4．可得q²=$\frac{1}{4}$，0＜q＜1，解得q，a₁，利用求和公式即可得出．

解答 解：設正項等比數列{a_n}公比為q，且0＜q=$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}＜1$，
∵a₃+a₅=20，a₂a₆=64=a₃a₅，
解得a₃=16，a₅=4．
∴q²=$\frac{1}{4}$，0＜q＜1，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}×\frac{1}{4}$=16，解得a₁=64．
則S₄=$\frac{64[1-（\frac{1}{2}）^{4}]}{1-\frac{1}{2}}$=120．
故選：C．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．